Composants électroniques et triangle de Pascal

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

Une entreprise fabrique des composants électroniques. L’entreprise estime que \(4\; \%\) des composants fabriqués présentent un défaut et sont donc inutilisables. Afin de contrôler la qualité des composants produits, un test est effectué : \(50\) composants sont prélevés au hasard dans la production et testés.

La production étant très grande, ce prélèvement peut être assimilé à un tirage avec remise. On note \(X\) la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de composants de cet échantillon présentant un défaut.

1. Justifier que \(X\) suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
2. Reproduire et compléter la ligne \(8\) du triangle de Pascal ci-dessous.

3. On admet que \(\dbinom{50}{3}=19\;600\). Prouver que \(P(X=3)\approx 0{,}184\) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.
4. Déterminer la probabilité qu’au moins un des composants testés soit défectueux.
5. Calculer l’espérance de la variable aléatoire \(X\) et interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.